Построение графов на основе их характеристик. Построение графов на основе их характеристик Классические задачи теории графов и их решения

Графы в информатике являются способом определения отношений в совокупности элементов. Это основные объекты изучения

Базовые определения

Из чего состоит граф в информатике? Он включает множество объектов, называемых вершинами или узлами, некоторые пары которых связаны т. н. ребрами. Например, граф на рисунке (а) состоит из четырех узлов, обозначенных А, В, С, и D, из которых B соединен с каждой из трех других вершин ребрами, а C и D также соединены. Два узла являются соседними, если они соединены ребром. На рисунке показан типичный способ того, как строить графы по информатике. Круги представляют вершины, а линии, соединяющие каждую их пару, являются ребрами.

Какой граф называется неориентированным в информатике? У него отношения между двумя концами ребра являются симметричными. Ребро просто соединяет их друг с другом. Во многих случаях, однако, необходимо выразить асимметричные отношения - например, то, что A указывает на B, но не наоборот. Этой цели служит определение графа в информатике, по-прежнему состоящего из набора узлов вместе с набором ориентированных ребер. Каждое ориентированное ребро представляет собой связь между вершинами, направление которой имеет значение. Направленные графы изображают так, как показано на рисунке (b), ребра их представлены стрелками. Когда требуется подчеркнуть, что граф ненаправленный, его называют неориентированным.

Модели сетей

Графы в информатике служат сетевых структур. На следующем рисунке представлена структура интернета, тогда носившего название ARPANET, в декабре 1970 года, когда она имела лишь 13 точек. Узлы представляют собой вычислительные центры, а ребра соединяют две вершины с прямой связью между ними. Если не обращать внимания на наложенную карту США, остальная часть изображения является 13-узловым графом, подобным предыдущим. При этом действительное расположение вершин несущественно. Важно, какие узлы соединены друг с другом.

Применение графов в информатике позволяет представить, как вещи либо физически, либо логически связаны между собой в сетевой структуре. 13-узловой ARPANET является примером коммуникационной сети, в которой вершины-компьютеры или другие устройства могут передавать сообщения, а ребра представляют собой прямые линии связи, по которым информация может быть передана.

Маршруты

Хотя графы применяются во многих различных областях, они обладают общими чертами. Теория графов (информатика) включает, возможно, важнейшую из них - идею о том, что вещи часто перемещаются по ребрам, последовательно переходя от узла к узлу, будь то пассажир нескольких авиарейсов или информация, передаваемая от человека к человеку в социальной сети, либо пользователь компьютера, последовательно посещающий ряд веб-страниц, следуя по ссылкам.

Эта идея мотивирует определение маршрута как последовательности вершин, связанных между собой ребрами. Иногда возникает необходимость рассматривать маршрут, содержащий не только узлы, но и последовательность ребер, их соединяющих. Например, последовательность вершин MIT, BBN, RAND, UCLA является маршрутом в графе интернета ARPANET. Прохождение узлов и ребер может быть повторным. Например, SRI, STAN, UCLA, SRI, UTAH, MIT также является маршрутом. Путь, в котором ребра не повторяются, называется цепью. Если же не повторяются узлы, то он носит название простой цепи.

Циклы

Особенно важные виды графов в информатике - это циклы, которые представляют собой кольцевую структуру, такую как последовательность узлов LINC, CASE, CARN, HARV, BBN, MIT, LINC. Маршруты с, по крайней мере, тремя ребрами, у которых первый и последний узел одинаковы, а остальные различны, представляют собой циклические графы в информатике.

SRI, STAN, UCLA, SRI является самым коротким, а SRI, STAN, UCLA, RAND, BBN, UTAH, SRI значительно больше.

Фактически каждое ребро графа ARPANET принадлежит к циклу. Это было сделано намеренно: если какое-либо из них выйдет из строя, останется возможность перехода из одного узла в другой. Циклы в системах коммуникации и транспорта присутствуют для обеспечения избыточности - они предусматривают альтернативные маршруты по другому пути цикла. В социальной сети тоже часто заметны циклы. Когда вы обнаружите, например, что близкий школьный друг кузена вашей жены на самом деле работает с вашим братом, то это является циклом, который состоит из вас, вашей жены, ее двоюродного брата, его школьного друга, его сотрудника (т. е. вашего брата) и, наконец, снова вас.

Связный граф: определение (информатика)

Естественно задаться вопросом, можно ли из каждого узла попасть в любой другой узел. Граф связный, если между каждой парой вершин существует маршрут. Например, сеть ARPANET - связный граф. То же можно сказать и о большинстве коммуникационных и транспортных сетей, так как их цель состоит в том, чтобы направлять трафик от одного узла к другому.

С другой стороны, нет никаких априорных оснований ожидать того, что данные виды графов в информатике широко распространены. Например, в социальной сети несложно представить двух людей, не связанных между собой.

Компоненты

Если графы в информатике не связаны, то они естественным образом распадаются на набор связанных фрагментов, групп узлов, которые являются изолированными и не пересекающимися. Например, на рисунке изображены три таких части: первая - А и В, вторая - C, D и Е, и третья состоит из оставшихся вершин.

Компоненты связности графа представляют собой подмножество узлов, у которых:

• каждая вершина подгруппы имеет маршрут к любой другой;
• подмножество не является частью некоторого большего набора, в котором каждый узел имеет маршрут к любому другому.

Когда графы в информатике разделяются на их компоненты, то это является лишь начальным способом описания их структуры. В рамках данного компонента может быть богатая внутренняя структура, важная для интерпретации сети. Например, формальным методом определения важности узла является определение того, на сколько частей разделится граф, если узел будет убран.

Максимальная компонента

Существует метод качественной оценки компонентов связности. Например, есть всемирная социальная сеть со связями между двумя людьми, если они являются друзьями.

Связная ли она? Вероятно, нет. Связность - довольно хрупкое свойство, и поведение одного узла (или небольшого их набора) может свести ее на нет. Например, один человек без каких-либо живых друзей будет компонентом, состоящим из единственной вершины, и, следовательно, граф не будет связным. Или отдаленный тропический остров, состоящий из людей, которые не имеют никакого контакта с внешним миром, также будет небольшой компонентой сети, что подтверждает ее несвязность.

Глобальная сеть друзей

Но есть еще кое-что. Например, читатель популярной книги имеет друзей, выросших в других странах, и составляет с ними одну компоненту. Если принять во внимание родителей этих друзей и их друзей, то все эти люди также находятся в той же компоненте, хотя они никогда не слышали о читателе, говорят на другом языке и рядом с ним никогда не были. Таким образом, хотя глобальная сеть дружбы - не связная, читатель будет входить в компонент очень большого размера, проникающий во все части мира, включающий в себя людей из самых разных слоев и, фактически, содержащий значительную часть населения земного шара.

То же имеет место и в сетевых наборах данных - большие, сложные сети часто имеют максимальную компоненту, которая включает значительную часть всех узлов. Более того, когда сеть содержит максимальную компоненту, она почти всегда только одна. Чтобы понять, почему, следует вернуться к примеру с глобальной сетью дружбы и попробовать вообразить наличие двух максимальных компонент, каждая из которых включает миллионы людей. Потребуется наличие единственного ребра от кого-то из первой компоненты ко второй, чтобы две максимальные компоненты слились в одну. Так как ребро единственное, то в большинстве случаев невероятно, чтобы оно не образовалось, и, следовательно, две максимальные компоненты в реальных сетях никогда не наблюдаются.

В некоторых редких случаях, когда две максимальные компоненты сосуществовали в течение длительного время в реальной сети, их объединение было неожиданным, драматическим, и, в конечном итоге, имело катастрофические последствия.

Катастрофа слияния компонент

Например, после прибытия европейских исследователей в цивилизации Западного полушария примерно полтысячелетия назад произошел глобальный катаклизм. С точки зрения сети это выглядело так: пять тысяч лет глобальная социальная сеть, вероятно, состояла из двух гигантских компонент - одной в Северной и Южной Америке, а другой - в Евразии. По этой причине технологии развивалась независимо в двух компонентах, и, что еще хуже, так же развивались и болезни человека и т. д. Когда две компоненты, наконец, вошли в контакт, технологии и заболевания одной быстро и катастрофически переполнили вторую.

Американская средняя школа

Понятие максимальных компонент полезно для рассуждений о сетях и в гораздо меньших размерах. Интересный пример представляет собой граф, иллюстрирующий романтические отношения в американской средней школе за 18-месячный период. Тот факт, что он содержит максимальную компоненту, имеет важное значение, когда речь заходит о распространении заболеваний, передаваемых половым путем, что и являлось целью проведенного исследования. Ученики, возможно, имели лишь одного партнера за этот период времени, но, тем не менее, не осознавая этого, были частью максимальной компоненты и, следовательно, частью многих маршрутов потенциальной передачи. Эти структуры отражают отношения, которые, возможно, давно закончилась, но они связывают индивидуумов в цепях слишком долго, чтобы стать предметом пристального внимания и сплетен. Тем не менее, они реальны: как социальные факты это невидимые, но логически вытекающие макроструктуры, возникшие как продукт индивидуального посредничества.

Расстояние и поиск в ширину

В дополнение к сведениям о том, связаны ли два узла маршрутом, теория графов в информатике позволяет узнать и о его длине - в транспорте, связи или при распространении новостей и заболеваний, а также о том, проходит ли он через несколько вершин или множество.

Для этого следует определить длину маршрута, равную числу шагов, которые он содержит от начала до конца, т. е. число ребер в последовательности, которая его составляет. Например, маршрут MIT, BBN, RAND, UCLA имеет длину 3, а MIT, UTAH - 1. Используя длину пути, можно говорить о том, расположены ли два узла в графе близко друг к другу или далеко: расстояние между двумя вершинами определяется как длина самого короткого пути между ними. Например, расстояние между LINC и SRI равно 3, хотя, чтобы убедиться в этом, следует удостовериться в отсутствии длины, равной 1 или 2, между ними.

Алгоритм поиска в ширину

Для небольших графов расстояние между двумя узлами подсчитать легко. Но для сложных появляется необходимость в систематическом методе определения расстояний.

Самым естественным способом это сделать и, следовательно, наиболее эффективным, является следующий (на примере глобальной сети друзей):

• Все друзья объявляются находящимися на расстоянии 1.
• Все друзья друзей (не считая уже отмеченных) объявляются находящимися на расстоянии 2.
• Все их друзья (опять же, не считая помеченных людей) объявляются удаленными на расстояние 3.

Продолжая таким образом, поиск проводят в последующих слоях, каждый из которых - на единицу дальше предыдущего. Каждый новый слой составляется из узлов, которые еще не участвовали в предыдущих, и которые входят в ребро с вершиной предыдущего слоя.

Эта техника называется поиском в ширину, так как она выполняет поиск по графу наружу от начального узла, в первую очередь охватывая ближайшие. В дополнение к предоставлению способа определения расстояния, она может служить полезной концептуальной основой для организации структуры графа, а также того, как построить граф по информатике, располагая вершины на основании их расстояния от фиксированной начальной точки.

Поиск в ширину может быть применен не только к сети друзей, но и к любому графу.

Мир тесен

Если вернуться к глобальной сети друзей, можно увидеть, что аргумент, объясняющий принадлежность к максимальной компоненте, на самом деле утверждает нечто большее: не только у читателя есть маршруты к друзьям, связывающие его со значительной долей населения земного шара, но эти маршруты на удивление коротки.

Эта идея получила название «феномена тесного мира»: мир кажется маленьким, если думать о том, какой короткий маршрут связывает любых двух людей.

Теория «шести рукопожатий» впервые экспериментально исследовалась Стенли Милгрэмом и его коллегами в 1960-е годы. Не имея какого-либо набора данных социальных сетей и с бюджетом в 680 долларов он решил проверить популярную идею. С этой целью он попросил 296 случайно отобранных инициаторов попробовать отослать письмо биржевому брокеру, который жил в пригороде Бостона. Инициаторам были даны некоторые личные данные о цели (включая адрес и профессию), и они должны были переслать письмо лицу, которого они знали по имени, с теми же инструкциями, чтобы оно достигло цели как можно быстрее. Каждое письмо прошло через руки ряда друзей и образовало цепочку, замыкавшуюся на биржевом брокере за пределами Бостона.

Среди 64 цепочек, достигших цели, средняя длина равнялась шести, что подтвердило число, названное два десятилетия ранее в названии пьесы Джона Гэра.

Несмотря на все недочеты этого исследования, эксперимент продемонстрировал один из важнейших аспектов нашего понимания социальных сетей. В последующие годы из него был сделан более широкий вывод: социальные сети, как правило, имеют очень короткие маршруты между произвольными парами людей. И даже если такие опосредованные связи с руководителями предприятий и политическими лидерами не окупаются на ежедневной основе, существование таких коротких маршрутов играет большую роль в скорости распространения информации, болезней и других видов заражения в обществе, а также в возможностях доступа, которые социальная сеть предоставляет людям с совершенно противоположными качествами.

Ключевые слова:

• графический объект
• компьютерная графика
• растровая графика
• векторная графика
• форматы графических файлов

Рисунки, картины, чертежи, фотографии и другие графические изображения будем называть графическими объектами.

3.2.1. Сферы применения компьютерной графики

Компьютерная графика прочно вошла в нашу повседневную жизнь. Она применяется:

• для наглядного представления результатов измерений и наблюдений (например, данных о климатических изменениях за продолжительный период, о динамике популяций животного мира, об экологическом состоянии различных регионов и т. п.), результатов социологических опросов, плановых показателей, статистических данных, результатов ультразвуковых исследований в медицине и т. д.;
• при разработке дизайнов интерьеров и ландшафтов, проектировании новых сооружений, технических устройств и других изделий;
• в тренажёрах и компьютерных играх для имитации различного рода ситуаций, возникающих, например, при полете самолёта или космического аппарата, движении автомобиля и т. п.;
• при создании всевозможных спецэффектов в киноиндустрии;
• при разработке современных пользовательских интерфейсов программного обеспечения и сетевых информационных ресурсов;
• для творческого самовыражения человека (цифровая фотография, цифровая живопись, компьютерная анимация и т. д.).

Примеры компьютерной графики показаны на рис. 3.5.

Рис. 3.5.
Примеры компьютерной графики

• http://snowflakes.barkleyus.com/ - с помощью компьютерных инструментов вы можете «вырезать» любую снежинку;
• http://www.pimptheface.com/create/ - можно создать лицо, пользуясь большой библиотекой губ, глаз, бровей, причёсок и других фрагментов;
• http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - попробуйте подобрать новую мебель и отделочные материалы для своей комнаты.

3.2.2. Способы создания цифровых графических объектов

Графические объекты, созданные или обработанные с помощью компьютера, сохраняются на компьютерных носителях; при необходимости они могут быть выведены на бумагу или другой подходящий носитель (плёнку, картон, ткань и т. д.).

Графические объекты на компьютерных носителях будем называть цифровыми графическими объектами.

Существует несколько способов получения цифровых графических объектов.

1. копирование готовых изображений с цифровой фотокамеры, с устройств внешней памяти или «скачивание» их из Интернета;
2. ввод графических изображений, существующих на бумажных носителях, с помощью сканера;
3. создание новых графических изображений с помощью программного обеспечения.

Принцип работы сканера состоит в том, чтобы разбить имеющееся на бумажном носителе изображение на крошечные квадратики - пиксели, определить цвет каждого пикселя и сохранить его в двоичном коде в памяти компьютера.

Качество полученного в результате сканирования изображения зависит от размеров пикселя: чем меньше пиксель, тем на большее число пикселей будет разбито исходное изображение и тем более полная информация об изображении будет передана в компьютер.

Размеры пикселя зависят от разрешающей способности сканера, которая обычно выражается в dpi (dot per inch - точек на дюйм 1) и задаётся парой чисел (например, 600 х 1200 dpi). Первое число - это количество пикселей, которые могут быть выделены сканером в строке изображения длиной в 1 дюйм. Второе число - количество строк, на которые может быть разбита полоска изображения высотой в 1 дюйм.

1 Дюйм - единица длины в английской системе мер, равна 2,54 см.

Задача . Сканируется цветное изображение размером 10 х 10 см. Разрешающая способность сканера 1200 х 1200 dpi, глубина цвета - 24 бита. Какой информационный объём будет иметь полученный графический файл?

Решение . Размеры сканируемого изображения составляют приблизительно 4x4 дюйма. С учётом разрешающей способности сканера всё изображение будет разбито на 4 4 1200 1200 пикселей.

Ответ: приблизительно 66 Мбайт.

Рекомендуем вам посмотреть анимации «Сканеры: общие принципы работы», «Сканеры: планшетный сканер», размещённые в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/). Эти ресурсы помогут вам более полно представить, как происходит процесс сканирования. Ресурс «Цифровая фотокамера» проиллюстрирует, как получаются цифровые фотографии (рис. 3.6).

Рис. 3.6.
Планшетный сканер и цифровая фотокамера

3.2.3. Растровая и векторная графика

В зависимости от способа создания графического изображения различают растровую, векторную и фрактальную графику.

Растровая графика

В растровой графике изображение формируется в виде растра - совокупности точек (пикселей), образующих строки и столбцы. Каждый пиксель может принимать любой цвет из палитры, содержащей миллионы цветов. Точность цветопередачи - основное достоинство растровых графических изображений. При сохранении растрового изображения в памяти компьютера сохраняется информация о цвете каждого входящего в него пикселя.

Качество растрового изображения возрастает с увеличением количества пикселей в изображении и количества цветов в палитре. При этом возрастает и информационный объём всего изображения. Большой информационный объём - один из основных недостатков растровых изображений.

Следующий недостаток растровых изображений связан с некоторыми трудностями при их масштабировании. Так, при уменьшении растрового изображения несколько соседних пикселей преобразуются в один, что ведёт к потере чёткости мелких деталей изображения. При увеличении растрового изображения в него добавляются новые пиксели, при этом соседние пиксели принимают одинаковый цвет и возникает ступенчатый эффект (рис. 3.7).

Рис. 3.7.
Растровое изображение и его увеличенный фрагмент

Растровые графические изображения редко создают вручную. Чаще всего их получают путём сканирования подготовленных художниками иллюстраций или фотографий; в последнее время для ввода растровых изображений в компьютер широко применяются цифровые фотокамеры.

Векторная графика

Многие графические изображения могут быть представлены в виде совокупности отрезков, окружностей, дуг, прямоугольников и других геометрических фигур. Например, изображение на рис. 3.8 состоит из окружностей, отрезков и прямоугольника.

Рис. 3.8.
Изображение из окружностей, отрезков и прямоугольника

Каждая из этих фигур может быть описана математически: отрезки и прямоугольники - координатами своих вершин, окружности - координатами центров и радиусами. Кроме того, можно задать толщину и цвет линий, цвет заполнения и другие свойства геометрических фигур. В векторной графике изображения формируются на основе таких наборов данных (векторов), описывающих графические объекты, и формул их построения. При сохранении векторного изображения в память компьютера заносится информация о простейших геометрических объектах, его составляющих.

Информационные объёмы векторных изображений значительно меньше информационных объёмов растровых изображений. Например, для изображения окружности средствами растровой графики нужна информация обо всех пикселях квадратной области, в которую вписана окружность; для изображения окружности средствами векторной графики требуются только координаты одной точки (центра) и радиус.

Ещё одно достоинство векторных изображений - возможность их масштабирования без потери качества (рис. 3.9). Это связано с тем, что при каждом преобразовании векторного объекта старое изображение удаляется, а вместо него по имеющимся формулам строится новое, но с учётом изменённых данных.

Рис. 3.9.
Векторное изображение, его преобразованный фрагмент и простейшие геометрические фигуры, из которых «собран» этот фрагмент

Вместе с тем, не всякое изображение можно представить как совокупность простых геометрических фигур. Такой способ представления хорош для чертежей, схем, деловой графики и в других случаях, где особое значение имеет сохранение чётких и ясных контуров изображений.

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Но, в отличие от векторной графики, в памяти компьютера хранятся не описания геометрических фигур, составляющих изображение, а сама математическая формула (уравнение), по которой строится изображение. Фрактальные изображения разнообразны и причудливы (рис. 3.10).

Рис. 3.10.
Фрактальная графика

Более полную информацию по этому вопросу вы сможете найти в Интернете (например, по адресу http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал).

3.2.4. Форматы графических файлов

Формат графического файла - это способ представления графических данных на внешнем носителе. Различают растровые и векторные форматы графических файлов, среди которых, в свою очередь, выделяют универсальные графические форматы и собственные (оригинальные) форматы графических приложений.

Универсальные графические форматы «понимаются» всеми приложениями, работающими с растровой (векторной) графикой.

Универсальным растровым графическим форматом является формат BMP. Графические файлы в этом формате имеют большой информационный объём, так как в них на хранение информации о цвете каждого пикселя отводится 24 бита.

В рисунках, сохранённых в универсальном растровом формате GIF, можно использовать только 256 разных цветов. Такая палитра подходит для простых иллюстраций и пиктограмм. Графические файлы этого формата имеют небольшой информационный объём. Это особенно важно для графики, используемой во Всемирной паутине, пользователям которой желательно, чтобы запрошенная ими информация появилась на экране как можно быстрее.

Универсальный растровый формат JPEG разработан специально для эффективного хранения изображений фотографического качества. Современные компьютеры обеспечивают воспроизведение более 16 миллионов цветов, большинство из которых человеческим глазом просто неразличимы. Формат JPEG позволяет отбросить «избыточное» для человеческого восприятия разнообразие цветов соседних пикселей. Часть исходной информации при этом теряется, но это обеспечивает уменьшение информационного объёма (сжатие) графического файла. Пользователю предоставляется возможность самому определять степень сжатия файла. Если сохраняемое изображение - фотография, которую предполагается распечатать на листе большого формата, то потери информации нежелательны. Если же этот фотоснимок будет размещён на Web-странице, то его можно смело сжимать в десятки раз: оставшейся информации будет достаточно для воспроизведения изображения на экране монитора.

К универсальным векторным графическим форматам относится формат WMF, используемый для хранения коллекции картинок Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Универсальный формат EPS позволяет хранить информацию как о растровой, так и о векторной графике. Его часто используют для импорта 2 файлов в программы подготовки полиграфической продукции.

2 Процесс открытия файла в программе, в которой он не был создан.

С собственными форматами вы познакомитесь непосредственно в процессе работы с графическими приложениями. Они обеспечивают наилучшее соотношение качества изображения и информационного объёма файла, но поддерживаются (т. е. распознаются и воспроизводятся) только самим создающим файл приложением.

Задача 1 . Для кодирования одного пикселя используется 3 байта. Фотографию размером 2048 х 1536 пикселей сохранили в виде несжатого файла. Определите размер получившегося файла.

Решение .

Ответ: 9 Мб.

Задача 2 . Несжатое растровое изображение размером 128 х 128 пикселей занимает 2 Кб памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Решение .

Ответ: 2 цвета - чёрный и белый.

Самое главное

Компьютерная графика - это широкое понятие, обозначающее: 1) разные виды графических объектов, созданных или обработанных с помощью компьютеров; 2) область деятельности, в которой компьютеры используются как инструменты создания и обработки графических объектов.

В зависимости от способа создания графического изображения различают растровую и векторную графику.

В растровой графике изображение формируется в виде растра - совокупности точек (пикселей), образующих строки и столбцы. При сохранении растрового изображения в памяти компьютера сохраняется информация о цвете каждого входящего в него пикселя.

В векторной графике изображения формируются на основе наборов данных (векторов), описывающих тот или иной графический объект, и формул их построения. При сохранении векторного изображения в память компьютера заносится информация о простейших геометрических объектах, его составляющих.

Формат графического файла - это способ представления графических данных на внешнем носителе. Различают растровые и векторные форматы графических файлов, среди которых, в свою очередь, выделяют универсальные графические форматы и собственные форматы графических приложений.

Вопросы и задания

1. Что такое компьютерная графика?
2. Перечислите основные сферы применения компьютерной графики.
3. Каким образом могут быть получены цифровые графические объекты?
4. Сканируется цветное изображение размером 10 х 15 см. Разрешающая способность сканера 600 х 600 dpi, глубина цвета - 3 байта. Какой информационный объём будет иметь полученный графический файл?
5. В чём разница между растровым и векторным способами представления изображения?
6. Почему считается, что растровые изображения очень точно передают цвет?
7. Какая операция по преобразованию растрового изображения ведёт к наибольшим потерям его качества - уменьшение или увеличение? Как вы можете это объяснить?
8. Почему масштабирование не влияет на качество векторных изображений?
9. Чем вы можете объяснить разнообразие форматов графических файлов?
10. В чём основное различие универсальных графических форматов и собственных форматов графических приложений?
11. Постройте как можно более полный граф для понятий п. 3.2.4.
12. Дайте развёрнутую характеристику растровых и векторных изображений, указав в ней следующее:

    а) из каких элементов строится изображение;

    б) какая информация об изображении сохраняется во внешней памяти;

    в) как определяется размер файла, содержащего графическое изображение;

    г) как изменяется качество изображения при масштабировании;

    д) каковы основные достоинства и недостатки растровых (векторных) изображений.

13. Рисунок размером 1024 х 512 пикселей сохранили в виде несжатого файла размером 1,5 Мб. Какое количество информации было использовано для кодирования цвета пикселя? Каково максимально возможное число цветов в палитре, соответствующей такой глубине цвета?
14. Несжатое растровое изображение размером 256 х 128 пикселей занимает 16 Кб памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Введение

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами . Точки при этом называются вершинами , а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными .

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема : Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство : Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5 . В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема : Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение . Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство . Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

Теоретические сведения

Отметим, что в задачах на построение решение необходимо искать среди простых неориентированных графов (т.е. графов без кратных ребер и без петель). К сожалению, не существует универсальной методики, позволяющей точно определить, может ли быть построен граф с заданными характеристиками.

Важно помнить, что в любом графе сумма степеней всех его вершин - число четное, равное удвоенному числу ребер графа, так как каждое ребро участвует в этой сумме ровно два раза. Этот результат, известный еще 200 лет назад Эйлеру, часто называют леммой о рукопожатиях. Из нее следует, что если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно, ибо в каждом рукопожатии участвуют две руки (при этом каждая рука считается столько раз, сколько она участвовала в рукопожатиях). Отсюда следует, что:

• число вершин с нечетной степенью у любого графа четно;
• во всяком графе с п вершинами, где п > 2, всегда найдутся по меньшей мере две вершины с одинаковыми степенями;
• если в графе с вершинами п > 2 в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени (п - 1).

При решении задач необходимо очень внимательно читать условие, так как многие прилагательные, описывающие свойства графа, имеют численные эквиваленты. Приведем таблицу таких соответствий, чаще всего встречающихся в формулировке задач (табл. 2.9).

После того как получены все необходимые числительные, нужно попробовать рассчитать недостающие характеристики графа. Иногда в условии приводятся степени всех или нескольких вершин. В этом случае на основе того факта, что каждое ребро графа добавляет к его суммарной степени вершин ровно два, можно воспользоваться формулой

Х 5 (у /) = 2т ’

где т - количество вершин, а суммирование ведется по всем вершинам от 1 до п.

Задачи

Задача 2.42. Построить граф на восьми вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 4; три вершины степени 3; две вершины степени 2; одна вершина степени 1.

Решение.

Суммарная степень всех вершин равна 2-4 + 3- 3 + 2- 2+1 1=22, отсюда следует, что всего 11 ребер. Строить графы на основании вектора степеней проще, начиная с вершин больших степеней. Вер-

Таблица 2.9

Соответствие между описанием графа и его свойствами

Прилагательное	Числительное	Что это значит
		В графе ровно одна компонента связности
Несвязный		В графе более одной компоненты, его диаметр точно равен бесконечности
Регулярный	5(У;) = СОШІ	Степени всех вершин равны
Регулярный степени у	з(Уі)=У	Степени всех вершин равны у. Если известно п (число вершин), то можно сразу рассчитать т (число ребер): т-п? у/2 (п или у должно быть числом четным)
Ациклический	у= т-п + к = 0	Цикломатическое число равно нулю, в графе нет циклов, это - дерево или лес (в зависимости от связности), такие графы всегда можно раскрасить в два цвета. Если известны две переменные из трех (п , т, к), то с помощью формулы можно найти оставшуюся
Дерево(или ациклический связный граф)	у= т- п + 1 =0, откуда т- п - 1	Цикломатическое число равно нулю, в графе нет циклов, это - дерево, такие графы всегда можно раскрасить в два цвета. Если известна одна переменная из двух (п или т), то с помощью формулы можно найти вторую
Бихроматиче-		Хроматическое число графа равно двум, такие графы всегда можно раскрасить в два цвета, это - двудольные графы, графически это или ациклические графы, или графы, у которых все циклы имеют четную длину

шины в графическом представлении графа лучше располагать так, чтобы пересекалось как можно меньше ребер и дуг, а сами вершины были сгруппированы по некоторому признаку подобия. Один из вариантов предложен на рис. 2.8.

Задача 2.43. Построить граф на шести вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 3;

Рис. 2.8.

две вершины степени 2; одна вершина степени 1; одна вершина имеет произвольную степень.

Решение.

Суммарная степень вершин равна 11, следовательно, оставшаяся вершина должна иметь нечетную степень, т.е. 1,3 или 5. Таким образом, возможно построить три разных графа (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

Задача 2.44. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}.

Решение.

Суммарная степень равна 5 + 8 + 3 + 4+1=21. Так как это нечетное число, что противоречит теореме (количество ребер в два раза меньше этого числа, но 21 нацело на 2 не делится).

Ответ. Такого графа не существует.

Задача 2.45. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 1,2, 2, 2, 4, 4, 4, 4}.

Задача 2.46. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {5, 5, 6, 6, 6, 6, 6}.

Задача 2.47. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {1, 1, 1,2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5}.

Задача 2.48. Построить граф, имеющий следующий вектор степеней вершин: 5 = {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 7}.

Задача 2.49. Построить граф на шести вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: три вершины степени 5, а другие три вершины - неизвестной степени.

Задача 2.50. Построить граф на десяти вершинах, имеющий ребер в два раза больше, чем вершин, и следующее распределение степеней вершин: две вершины степени 6; четыре вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины произвольной степени - или обосновать невозможность построения такого графа.

Задача 2.51. Построить граф на десяти вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: одна вершина степени 7; две вершины степени 6; две вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины степени 3; одна вершина степени 2 - или обосновать невозможность построения такого графа.

Задача 2.52. Построить граф на 11 вершинах, имеющий следующее распределение степеней вершин: одна вершина степени 7; две вершины степени 6; две вершины степени 5; две вершины степени 4; две вершины степени 3; одна вершина степени 2 - или обосновать невозможность построения такого графа.

1736 год, г.Кёнигсберг. Через город протекает река Прегеля. В городе - семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке выше. С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ .

Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.

Виды графов:

1. Ориентированный граф (кратко орграф ) - рёбрам которого присвоено направление.

2. Неориентированный граф - это граф , в котором нет направления линий.

3. Взвешенный граф – дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1.

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2.

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Решение:

Вершины графа - это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева. В данной задача два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение:

Ниже представлен разбор задач.